Question

函数f（x）是定义域为{x|x≠0}的奇函数，且f（1）=1，f′（x）为f（x）的导函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞

1

x

，则不等式xf（x）＞1+ln|x|的解集为（　　）

• A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）
• C、（1，+∞）
• D、（-1，1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,奇偶性与单调性的综合

专题：导数的综合应用

分析：通过g（x））=xf（x）-ln|x|，为偶函数，且当x＞0时，g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，解不等式求出即可．

解答： 解：令g（x）=xf（x）-ln|x|，
则g（x）为偶函数，且当x＞0时，g′（x）＞0，
即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
不等式xf（x）＞1+ln|x|即为g（x）＞g（1），
即有g（|x|）＞g（1），化为|x|＞1，
解得：x＜-1或x＞1．
故选：A．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的奇偶性，是一道综合题．