Question

如图所示，已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若

AF

=2

FB

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3 2

  4

• B、

  2 3

  3

• C、

  30

  5

• D、

  5

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出直线l的方程为y=

2ab

a2-b2

（x-c），与y=±

b

a

x联立，可得A，B的纵坐标，利用

AF

=2

FB

，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±

b

a

x，
∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，
∴k_OA=

2b a

1- b2 a2

=

2ab

a2-b2

，
∴直线l的方程为y=

2ab

a2-b2

（x-c），
与y=±

b

a

x联立，可得y=-

2abc

3a2-b2

或y=

2abc

a2+b2

，
∵

AF

=2

FB

，
∴

2abc

a2+b2

=2•（

2abc

3a2-b2

），
∴a=

3

b，
∴c=2b，
∴e=

c

a

=

2 3

3

．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．