Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+c）cosB+bcosC=0．
（1）求角B的值；
（2）设

m

=（sinA，cosA），

n

=（1，

3

），当

m

•

n

取到最大值时，求角A、角C的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用平面向量的数量积运算法则表示出

m

•

n

，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出

m

•

n

的最大值，以及此时A与C的度数即可．

解答： 解：（1）由（2a+c）cosB+bcosC=0，利用正弦定理化简得：
（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（B+C）=0，
整理得：2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
则B=

2π

3

；
（2）∵B=

2π

3

，∴A+C=

π

3

，
∵

m

=（sinA，cosA），

n

=（1，

3

），
∴

m

•

n

=sinA+

3

cosA=2sin（A+

π

3

），
当A+

π

3

=

π

2

，即A=

π

6

时，

m

•

n

取得最大值，
此时A=

π

6

，C=

π

6

．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．