Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a、b为实数），若f（-1）=0且函数f（x）的值域为[0，+∞）．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设F（x）=xf（x），求曲线F（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

解：（1）∵f（-1）=0
∴a-b+1=0①
又函数f（x）的值域为[0，+∞）
∴a＞0
∵f（x）=ax²+bx+1=a
∴y
∴4a-b²=0②
由①②得：a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x+1
（Ⅱ）∵F（x）=xf（x）
∴F^′（x）=3x²+4x+1
∴F^′（1）=8
又∵F（1）=4
∴曲线F（x）在x=1处的切线方程为y-4=8（x-1）即8x-y-4=0
分析：（1）根据f（-1）=0可得a-b+1=0①又函数f（x）的值域为[0，+∞）可分析出a＞0故可将f（x）=ax²+bx+1变形为f（x）=a故y所以4a-b²=0②，然后由①②即可求出a，b的值从而求出f（x）．
（2）根据F（x）=xf（x）可求出F（x）的解析式再根据导数的几何意义可得曲线F（x）在x=1处的切线方程的斜率为F^′（1）然后再根据点斜式写出切线方程即可．
点评：本题主要考查了利用导数的几何意义研究在某点处的切线方程，属常考题，较难．解题的关键是根据导数的几何意义得出F^′（1）即为曲线F（x）在x=1处的切线方程的斜率！