Question

5．设m＞0，双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1与圆N：x²+（y-m）²=5相切，A（-$\sqrt{5}$，0），B（$\sqrt{5}$，0），若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=4，则点P到x轴的距离为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，焦点坐标，运用双曲线的定义可得P在双曲线上，且P为双曲线与圆相切的切点，通过圆与双曲线相切，求出m以及切点坐标，然后求解点P到x轴的距离．

解答 解：双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+（y-m）^{2}=5}\end{array}\right.$，消去x化简可得5y²-2my+m²-1=0，双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1与圆N：x²+（y-m）²=5相切，
可得：△=0，化简可得m²=$\frac{5}{4}$，m＞0，可得m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，此时y=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，x=±$\frac{\sqrt{105}}{5}$
A（-$\sqrt{5}$，0），B（$\sqrt{5}$，0），若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=4，
可得A，B为双曲线的焦点，
由双曲线的定义可得P在双曲线上，
且P为双曲线与圆相切的切点，
设切点（±$\frac{\sqrt{105}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{10}$）．
即有点P到x轴的距离为：$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的切线的斜率求法，以及双曲线的切线的斜率求法，考查运算能力，属于中档题．