Question

15．正四棱台的两底面边长分别为1cm和2cm，它的侧面积是$3\sqrt{5}c{m^2}$，求该正四棱台的体积．

Answer 1

分析 连接棱台的两个底面中心，通过侧棱长，求出高，利用棱台的体积公式求出体积即可．

解答 解：正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底的中心分别为O₁，O．
∵棱台的侧面积是$3\sqrt{5}c{m^2}$，∴4×$\frac{1+2}{2}$×m=3$\sqrt{5}$，（m为斜高），
解得m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴AA₁=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
如图$AO=\sqrt{2}$，A₁O₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OO₁=$\sqrt{\frac{6}{4}-\frac{2}{4}}=1$，
∴正四棱台的体积V=$\frac{1}{3}（1+4+\sqrt{1×4}）×1$=$\frac{7}{3}$．

点评 本题是基础题，考查棱台的有关知识，考查空间想象能力，计算能力，正确应用棱台的体积公式，常考题型．