Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-lgx，x＞1}\\{{x}^{3}-3x，x≤1}\end{array}\right.$．
（1）求函数f（x）的图象在点（-3，f（-3））处的切线方程；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=m恰有2个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出x≤1时的导函数，可得f′（-3），再求出f（-3），由直线方程的点斜式得答案；
（2）画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．

解答 解：（1）当x≤1时，f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，
∴f′（-3）=24，又f（-3）=-18，
∴函数f（x）的图象在点（-3，f（-3））处的切线方程为y+18=24（x+3），
即y=24x+54；
（2）当x≤1时，令f′（x）=3x²-3＜0，
解得-1＜x＜1，
令f′（x）=3x²-3＞0，解得x＜-1．
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增，
在（-1，1）上单调递减，
∴f（x）的极大值为f（-1）=2；
由当x＞1时，f（x）=1-lgx单调递减，且f（1）=-2，1-lg1=1．
结合图象可得，当m∈（-∞，-2）∪[1，2）时，函数f（x）的图象与直线y=m恰有2个不同的交点．
故m∈（-∞，-2）∪[1，2）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定方法，是中档题．