Question

8．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，（a＞0）
（1）当a=2时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，从而求出切线方程即可；
（2）求导，将函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增化为导数恒不小于0，从而求a的取值范围；
（3）讨论函数f（x）在区间[1，2]上的单调性，从而确定函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=lnx+$\frac{1-x}{2x}$，（x＞0），且f（1）=0，
又∵f（x）=$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$，（x＞0），
∴f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=$\frac{1}{2}$，
故切线的斜率为y=$\frac{1}{2}$（x-1），
即x-2y-1=0；
（2）由题意，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{ax}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$，
∵a为大于零的常数，
若使函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
则使ax-1≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即a-1≥0，故a≥1；
（3）①当a≥1时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
则f_min（x）=f（1）=0；
②当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f′（x）在区间[1，2]恒不大于0，
f（x）在区间[1，2]上单调递减，
则f_min（x）=f（2）=ln2-$\frac{1}{2a}$；
③当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，令f′（x）=0可解得，x=$\frac{1}{a}$∈（1，2）；
易知f（x）在区间[1，$\frac{1}{a}$]单调递减，在[$\frac{1}{a}$，2]上单调递增，
则f_min（x）=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$+1-$\frac{1}{a}$；
综上所述，
①当a≥1时，f_min（x）=0；
②当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f_min（x）=ln$\frac{1}{a}$+1-$\frac{1}{a}$；
③当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f_min（x）=ln2-$\frac{1}{2a}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．