Question

19．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）曲线C的极坐标方程为4ρcos²θ-sinθ=0．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，P（0，1），求||PA|-|PB||．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的极坐标方程为4ρcos²θ-sinθ=0．即4ρ²cos²θ-ρsinθ=0．利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）化为标准方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$．代入抛物线方程可得：2t²-$\sqrt{3}$t-2=0，利用根与系数的关系可得：||PA|-|PB||=|-t₁-t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程为4ρcos²θ-sinθ=0．即4ρ²cos²θ-ρsinθ=0．
利用互化公式可得直角坐标方程：4x²=y．
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）化为标准方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$．
代入抛物线方程可得：2t²-$\sqrt{3}$t-2=0，
∴t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t₁t₂=-1，
∴||PA|-|PB||=|-t₁-t₂|=|t₁+t₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、三角函数求值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．