Question

已知函数f（x）=x^a-

6

x

，且f（6）=5．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用待定系数法求a值；
（2）首先求出定义域，然后利用定义判断奇偶性；
（3）利用单调性定义判断函数的单调性．

解答： 解：（1）∵f（6）=5，∴6a-

6

6

=5，
∴a=1；
（2）因为f(x)=x-

6

x

，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间
f(-x)=-x-

6

-x

=-(x-

6

x

)=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．
（3）设x₁＞x₂＞1，则  f(x1)-f(x2)=x1-

6

x1

-(x2-

6

x2

)=(x1-x2)(1+

6

x1x2

)，
因为x₁＞x₂＞1，所以x₁-x₂＞0，1+

6

x1x2

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），因此f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．

点评：本题考查函数的解析式求法、奇偶性的判定、单调性的判定等函数性质的运用．