Question

【题目】设函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.

详解：

解：（Ⅰ）因为，

所以.

，

由题设知，即，解得.

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.

若a>1，则当时，；

当时，.

所以在x=1处取得极小值.

若，则当时，，

所以.

所以1不是的极小值点.

综上可知，a的取值范围是.

方法二：.

（1）当a=0时，令得x=1.

随x的变化情况如下表：

x		1
	+	0
	↗	极大值	↘

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

（2）当a>0时，令得.

①当，即a=1时，，

∴在上单调递增，

∴无极值，不合题意.

②当/span>，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：

x		1
	+	0		0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：

x
	+	0		0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.

（3）当a<0时，令得.

随x的变化情况如下表：

x
		0	+	0
	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

综上所述，a的取值范围为.