Question

已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sinA、sinC、sinB成等差数列，且＝18，求边c的长．

Answer 1

 [解析]　(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)．

在△ABC中，由于sin(A＋B)＝sinC.

∴m·n＝sinC.

又∵m·n＝sin2C，

∴sin2C＝sinC，∴2sinCcosC＝sinC.

又sinC≠0，所以cosC＝.而0<C<π，因此C＝.

(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列得，

2sinC＝sinA＋sinB，

由正弦定理得，2c＝a＋b.

即abcosC＝18，由(1)知，cosC＝，所以ab＝36.

由余弦定理得，c²＝a²＋b²－2abcosC

＝(a＋b)²－3ab.

∴c²＝4c²－3×36，∴c²＝36.∴c＝6.