Question

4．已知0＜α，β＜π，且cosα+cosβ-cos（α+β）=$\frac{3}{2}$，则2α+β=π．

Answer 1

分析 令$\frac{α+β}{2}$=x，$\frac{α-β}{2}$=y，则 α+β=2x，由三角函数恒等变换化简已知可得：2cosxcosy-2cos²x=$\frac{1}{2}$，分析可得：cosx=$\frac{1}{2}$，cosy=1，结合0＜α，β＜$\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{π}{3}$，y=0，即可解得α=β=$\frac{π}{3}$，从而得解．

解答 解：cosα+cosβ-cos（α+β）=$\frac{3}{2}$，
左边=2cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$-cos（α+β），
令$\frac{α+β}{2}$=x，$\frac{α-β}{2}$=y，则 α+β=2x，
∴左边=2cosxcosy-cos（2x）=2cosxcosy-2cos²x+1，
所以 有 2cosxcosy-2cos²x=$\frac{1}{2}$，
但 2cosxcosy-2cos² x=-2（cosx-$\frac{cosy}{2}$）²+$\frac{co{s}^{2}y}{2}$，
所以-2（cosx-$\frac{cosy}{2}$）²+$\frac{co{s}^{2}y}{2}$=$\frac{1}{2}$，
注意-2（cosx-$\frac{cosy}{2}$）²≤0，而 cos²y≤1，
所以-2（cosx-$\frac{cosy}{2}$）²+$\frac{co{s}^{2}y}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
所以 最大值被达到，cosx-$\frac{cosy}{2}$=0，cosy=1，
即 cosx=$\frac{1}{2}$，cosy=1，
而 0＜α，β＜$\frac{π}{2}$，所以 0＜x＜π，-$\frac{π}{2}$＜y＜$\frac{π}{2}$，
所以 x=$\frac{π}{3}$，y=0，
可得：α=β=$\frac{π}{3}$．
则2α+β=π，
故答案为：π．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的值域的求法，和差化积公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．