已知顶点为原点的抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合,
与
在第一和第四象限的交点分别为
.
(1)若△AOB是边长为的正三角形,求抛物线
的方程;
(2)若,求椭圆
的离心率
;
(3)点为椭圆
上的任一点,若直线
、
分别与
轴交于点
和
,证明:
.
(1);(2)
;(3)证明过程详见试题解析.
解析试题分析:(1)由△AOB是边长为的正三角形得到
,代入抛物线方程
中,可以得到所求抛物线方程为
;(2)由
可知点
的横坐标是
,因此可结合
建立关于
的方程为:
,解出
;(3)利用设而不求的思想,可先设
三点后代入椭圆方程中,由于
的方程为
,求出
,
,那么
化简后得到:
.
试题解析:(1)设椭圆的右焦点为,依题意得抛物线的方程为
∵△是边长为
的正三角形,
∴点A的坐标是,
代入抛物线的方程解得
,
故所求抛物线的方程为
(2)∵, ∴ 点
的横坐标是
代入椭圆方程解得,即点
的坐标是
∵ 点在抛物线
上,
∴,
将代入上式整理得:
,
即,解得
∵ ,故所求椭圆
的离心率
.
(3)证明:设,代入椭圆方程得
而直线的方程为
令得
.
在中,以
代换
得
∴ .
考点:圆锥曲线;直线与圆锥曲线的位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为和
,且|
|=2,
点(1,)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过的直线
与椭圆C相交于A,B两点,若
A
B的面积为
,求以
为圆心且与直线
相切圆的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知的三个顶点都在抛物线
上,且抛物线的焦点
满足
,若
边上的中线所在直线
的方程为
(
为常数且
).
(1)求的值;
(2)为抛物线的顶点,
,
,
的面积分别记为
,
,
,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为
,其左、右焦点分别是F1、F2,过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点,且△EGF2的周长为4
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B,设P为椭圆上一点,且满足+
=t
(O为坐标原点),当|
-
|<
时,求实数t的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动圆过定点(1,0),且与直线
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)设是轨迹
上异于原点
的两个不同点,直线
和
的倾斜角分别为
和
,①当
时,求证直线
恒过一定点
;
②若为定值
,直线
是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的一个焦点
与抛物线
的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为
,倾斜角为
的直线
过点
.
(1)求该椭圆的方程;
(2)设椭圆的另一个焦点为,问抛物线
上是否存在一点
,使得
与
关于直线
对称,若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直角坐标系中,已知△PAB的周长为8,且点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0).
(1)试求顶点P的轨迹C1的方程;
(2)若动点C(x1,y1)在轨迹C1上,试求动点Q的轨迹C2的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程.
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
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