Question

7．在△ABC中，已知cosA=$\frac{4}{5}$，tan（B-A）=$\frac{1}{7}$，AC=5．求：
（1）角B；
（2）AB边的长．

Answer 1

分析 （1）解法一：由cosA=$\frac{4}{5}$，可求tanA，利用两角和的正切函数公式可求tanB=tan[（B-A）+A]的值，结合范围B∈（0，π），即可求B．
解法二：由cosA=$\frac{4}{5}$，可求tanA，利用tan（B-A）=$\frac{tanB-tanA}{1+tanB•tanA}$=$\frac{1}{7}$，解得tanB，结合范围B∈（0，π），即可求B．
（2）解法一：可求sinA=$\frac{3}{5}$，sinB=cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而利用两角和的正弦函数公式可求sinC=sin（A+B）的值，由正弦定理$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$，可求AB．
解法二：作CD⊥AB，垂足为D，由AC，cosA，可求CD，AD，又B=$\frac{π}{4}$，即可记得AB的值．

解答 解  （1）解法一：在△ABC中，因为 cosA=$\frac{4}{5}$，所以tanA=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}A}-1}$=$\frac{3}{4}$，…（2分）
所以tanB=tan[（B-A）+A]=$\frac{tan（B-A）+tanA}{1-tan（B-A）tanA}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}×\frac{3}{4}}$=1．…（4分）
因为B∈（0，π），所以B=$\frac{π}{4}$．…（6分）
解法二：在△ABC中，因为 cosA=$\frac{4}{5}$，所以tanA=$\frac{3}{4}$，…（2分）
所以tan（B-A）=$\frac{tanB-tanA}{1+tanB•tanA}$=$\frac{tanB-\frac{3}{4}}{1+\frac{3}{4}tanB}$=$\frac{1}{7}$，解得tanB=1． …（4分）
因为B∈（0，π），所以B=$\frac{π}{4}$．…（6分）
（2）解法一：在△ABC中，由cosA=$\frac{4}{5}$，B=$\frac{π}{4}$，
可得sinA=$\frac{3}{5}$，sinB=cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
从而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．…（11分）
由正弦定理$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$，代入得$\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{AB}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$，从而AB=7． …（14分）
解法二：作CD⊥AB，垂足为D，由AC=5，cosA=$\frac{4}{5}$，
所以CD=3，AD=4，…（9分）
又B=$\frac{π}{4}$，所以BD=CD=3，…（12分）
所以AB=3+4=7．…（14分）

点评 本题考查了正弦定理，两角和的正切函数公式，正弦函数公式，同角三角函数关系式，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．