Question

14．已知等比数列{a_n}单调递增，记数列{a_n}的前n项之和为S_n，且满足条件a₂=6，S₃=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n-2n，求数列{b_n}的前n项之和T_n．

Answer 1

分析 （1）设单调递增的等比数列{a_n}的公比为q≠1，由a₂=6，S₃=26．可得a₁q=6，${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=26，解得a₁，q，再利用单调性夹角得出．
（2）b_n=a_n-2n=2×3^n-1-2n，利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设单调递增的等比数列{a_n}的公比为q≠1，∵a₂=6，S₃=26．
∴a₁q=6，${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=26，解得a₁=18，q=$\frac{1}{3}$，或a₁=2，q=3．
当a₁=18，q=$\frac{1}{3}$，等比数列{a_n}单调递减，舍去．
∴a₁=2，q=3．
∴a_n=2×3^n-1．
（2）b_n=a_n-2n=2×3^n-1-2n，
∴数列{b_n}的前n项之和T_n=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-2×$\frac{n（n+1）}{2}$=3ⁿ-1-n²-n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．