Question

给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆” ，若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为；
（1）、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；
（2）、若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长。
（3）、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，求证：。

Answer 1

解：（1）因为，所以……………………………………………2分
所以椭圆的方程为，伴随圆的方程为.………………4分
（2）设直线的方程，由得 
由得…………………………6分
圆心到直线的距离为 ，所以………………………………8分
（3）①、当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与伴随圆交于点
此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是(或，
即为(或，显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直.…………………………10分
②、当都有斜率时，设点其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
由，消去得到，
即，……………………12分
，
经过化简得到：，
因为，所以有，…………………14分
设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足方程，
因而，即垂直.……………………………………………………16分

略