Question

7．若函数y=f（x）（x∈D）同时满足以下条件：①它在定义域D上是单调递减或递增函数；②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我们将这样的函数称作“A类函数”．
（1）函数f（x）=-x³是不是“A类函数”？如果是，试找出[a，b]；如果不是，试说明理由；
（2）求使得函数g（x）=k+$\sqrt{x+2}$是“A类函数”的常数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f′（x）=-3x²≤0，结合函数的奇偶性列出方程组，即可求出a，b．
（2）利用函数g（x）=k+$\sqrt{x+2}$是“A类函数”，推出函数g（x）的图象与直线y=x有两个不同交点，得到k的表达式，然后求解范围．

解答 解：（1）因为f′（x）=-3x²≤0，
所以f（x）在R上是减函数，所以$\left\{\begin{array}{l}f（a）=b\\ f（b）=a\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{3}=b\\-{b}^{3}=a\end{array}\right.$，又a＜b，
∴a=-1，b=1．
∴函数f（x）=-x³是“A类函数”，区间[-1，1]；
（2）由函数g（x）=k+$\sqrt{x+2}$是“A类函数”，易知函数是增函数，∴在[a，b]上的值域也是[a，b]，说明函数g（x）的图象与直线y=x有两个不同交点，令k+$\sqrt{x+2}=x$，则有k=x-$\sqrt{x+2}$，x≤-2，则k≤-2，
令t=$\sqrt{x+2}$≥0，x=t²-2，则k=t²-t-2=$（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，由数形结合可知：k∈$（-\frac{9}{4}，-2]$．

点评 本题考查函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．