Question

9．已知椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，动直线$l：y=\frac{3}{2}x+m$
（1）若动直线l与椭圆C相交，求实数m的取值范围；
（2）当动直线l与椭圆C相交时，证明：这些直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程与椭圆方程，由判别式大于0求得实数m的取值范围；
（2）由（1）中的方程结合根与系数的关系可得直线l被椭圆所截线段中点的坐标，代入直线3x+2y=0成立，说明直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上．

解答 （1）解：将$y=\frac{3}{2}x+m$代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，整理得：9x²+6mx+2m²-18=0，
由△=36m²-36（2m²-18）=-36m²+36×18＞0，
解得$-3\sqrt{2}＜m＜3\sqrt{2}$，
∴实数m的取值范围是（$-3\sqrt{2}，3\sqrt{2}$）；
（2）证明：设直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）知${x_1}+{x_2}=-\frac{2m}{3}$，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{3}{2}（{x_1}+{x_2}）+2m=m$，
故线段AB的中点$M（-\frac{m}{3}，\frac{m}{2}）$，
代入直线3x+2y=0，可得3×$（-\frac{m}{3}）+2×\frac{m}{2}=0$．
∴直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．