Question

【题目】已知函数(a，bR)．

（1）当a＝b＝1时，求的单调增区间；

（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；

（3）当a＝0时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的单调增区间是和

（2）

（3）

【解析】

（1）当a＝b＝1时，求得函数的导数，即可求解函数的单调区间；

（2）法一：求得，令，得或，由函数f（x）有两个不同的零点，求得的方程，即可求解；

法二：由得，，设，利用导数求得函数的单调区间和极值，进而可得函数的零点。

（3）当时，可得，设，利用导数得到函数的单调区间和极值，转化为要使有解，和的解集（m,n）中只有一个整数，分别列出不等式组，即可求解。

（1）当a＝b＝1时，，

令，解得或

所以f（x）的单调增区间是和

（2）法一：，令，得或，

因为函数f（x）有两个不同的零点，所以或，

当时，得a＝0，不合题意，舍去：

当时，代入得

即，所以.

法二：由于，所以，

由得，，

设，令，得，

当时，，h(x)递减：当时，,递增

当时，，单调递增

当时, 的值域为R

故不论取何值，方程有且仅有一个根；

当时，，

所以时，方程恰有一个根－2，

此时函数恰有两个零点-2和1．

（3）当时，因为，所以

设，则，

当时，因为，所以在上递增，且，

所以在上，，不合题意：

当时，令，得，

所以在递增，在递减，

所以，

要使有解，首先要满足，解得. ①

又因为，，

要使的解集（m,n）中只有一个整数，则

即解得. ②

设,则,

当时，,递增：当时，,递减

所以,所以,

所以由①和②得，.