Question

如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，得到三棱锥B-ACD，M是棱BC上的一点．

（Ⅰ）若OM⊥BC，求证：BC⊥平面OMD；
（Ⅱ）若OM∥平面ABD，求三棱锥M-ABD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用OM⊥BC，通过证明OD⊥BC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面OMD；
（Ⅱ）若OM∥平面ABD，说明OD为三棱锥D-ABM的高，求出△ABM的面积，即可求三棱锥M-ABD的体积．

解答： 解：（Ⅰ）证明∵平面ABC⊥平面ADC
又∵在菱形中，OD⊥AC
而平面ABC∩平面ADC=AC∴OD⊥平面ABC----------------（3分）
又∵BC?平面ABC∴OD⊥BC．
又∵OM⊥BC，OM∩OD=0．
∴BC⊥平面OMD---------------（6分）
（Ⅱ）∵OM∥平面ABD
又∵OM?平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB∴OM∥AB
又∵O为AC中点∴M为AC中点---------（9分）
由（Ⅰ）可知OD⊥面ABC
即OD为三棱锥D-ABM的高----------（10分）
在△ABM中，AB=6，∠ABC=120°，BM=3，
∴S△ABM=

1

2

×3×6×sin120°=

9

2

3

．
VM-ABD=VD-ABM=

1

3

S△ABM×OD=

1

3

×

9

2

3

×3=

9

2

3

-----------（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的与，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．