Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁和F₂，A（0，-1）为椭圆的一个顶点，P是椭圆上任意一点，右焦点F₂到直线x-y+2

2

=0的距离为3，且∠F₁PF₂为锐角，求点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先确定椭圆的方程，再设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F₁PF₂为锐角，则cos∠F₁PF₂＞0，由此列不等式解得P点横坐标的取值范围．

解答： 解：∵右焦点F₂到直线x-y+2

2

=0的距离为3，
∴

|c+2 2 |

2

=3（c＞0），
∴c=

2

，
∵b=1，
∴a=

3

，
设P（x，y），则

PF1

=（x+

2

，y），

PF2

=（x-

2

，y），
∵∠F₁PF₂为锐角，
∴cos∠F₁PF₂＞0
∴（x+

2

，y）•（x-

2

，y）＞0  
即x²+y²-2＞0 
又

x2

3

+y²=1，
∴

2

3

x²＞1，解得x＜-

6

2

或x＞

6

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程及几何意义，解题时要能熟练的由椭圆定义和标准方程解焦点三角形问题