Question

6．设A是由x轴、直线x=a（0＜a≤1）和曲线y=x²围成的曲边三角形区域，集合Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率为$\frac{1}{192}$，则实数a的值是（　　）

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，由定积分求出曲边梯形A的面积，结合几何概型概率计算公式求得实数a的值．

解答 解：如图，
曲边梯形的面积S_A=${∫}_{0}^{a}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^{3}{|}_{0}^{a}=\frac{1}{3}{a}^{3}$，
区域Ω的面积为S=1．
由几何概型概率计算公式得：$\frac{\frac{1}{3}{a}^{3}}{1}=\frac{1}{3}{a}^{3}=\frac{1}{192}$，
即${a}^{3}=\frac{1}{64}$，解得a=$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查几何概型，考查了由定积分求曲边梯形的面积，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．