Question

18．设f（x）与g（x）都是定义在区间[x₁，x₂]上的函数，若对任意x∈[x₁，x₂]，都有（f（x）+g（x））²≤2，则称f（x）和g（x）为“2度相关函数”．若函数f（x）与函数g（x）=x+2在[1，2]上为“2度相关函数”，则函数f（x）的解析式可以为（　　）

• A． f（x）=x²+2x+1
• B． f（x）=-3x+2
• C． f（x）=-x²+2x-4
• D． f（x）=x+lnx-4

Answer 1

分析 根据“2度相关函数”的定义对各个选项分别构造函数，求出对应的导数判断出函数的单调性、求出函数的最大值判断是否符合条件．

解答 解：对于A、设h（x）=（f（x）+g（x））²=（x²+3x+3）²，
则h′（x）=2（x²+3x+3）（2x+3）＞0，则h（x）在[1，2]上递增，
∴h（x）的最大值是h（2）=169＞2，故A错误；
对于B、设h（x）=（f（x）+g（x））²=（-2x+4）²，
则h′（x）=2（-2x+4）（-2）=8（x-2）＜0，则h（x）在[1，2]上递减，
∴h（x）的最大值是h（1）=4＞2，故B错误；
对于C、设h（x）=（f（x）+g（x））²=（-x²+3x-2）²，
则h′（x）=2（-x²+3x-2）（-2x+3）=2（x-1）（x-2）（2x-3），
则h（x）在[1，$\frac{3}{2}$]上递增，在（$\frac{3}{2}$，2]上递增，
∴h（x）的最大值是h（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{16}$＜2，故C正确；
对于D、设h（x）=（f（x）+g（x））²=（2x+lnx-2）²，
则h′（x）=2（2x+lnx-2）（2+$\frac{1}{x}$）＞0，则h（x）在[1，2]上递增，
∴h（x）的最大值是h（2）=（2+ln2）＞2，故D错误，
故选：C．

点评 本题是与函数有关的新定义题目，考查构造函数法，导数与函数单调性、最值问题，属于中档题．