Question

【题目】【2018江西南康中学、于都中学上学期第四次联考】椭圆上动点到两个焦点的距离之和为4，且到右焦点距离的最大值为．

（I）求椭圆的方程；

（II）设点为椭圆的上顶点，若直线与椭圆交于两点（不是上下顶点）．试问：直线是否经过某一定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；

（III）在（II）的条件下，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）过定点；（III） ．

【解析】试题分析：（1）由题意布列关于a,b的方程组，解之即可;（2）联立直线与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后借助韦达定理，将向量的数量积为零表示出来，得到方程，进而求出定点。(3) 第三问的面积则是将拆分成和两个三角形面积之和,表达面积后，利用换元法简化表达式，再利用均值不等式求最值即可.

试题解析：

（1）由已知得：2a=4∴a=2， ， ，b=1， ∴椭圆C的方程为： .

（2）依题意可设直线（k必存在），，将代入椭圆方程得． ， ，

∵∴，

∴ ，∵点B为椭圆的上顶点，且，∴，

， 或（舍去），，∴直线l 必过定点.

（3）不难得到： ，

，

令，则，

∴（当，即时取等号）.