Question

19．已知-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$．
（1）求sin2x和cosx-sinx；
（2）求$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （1）由角在第四象限，得sinx＜0，cosx＞0，由（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，能求出sin2x和cosx-sinx．
（2）由sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，cosx-sinx=$\frac{7}{5}$，先求出sinx=-$\frac{3}{5}$，cosx=$\frac{4}{5}$，由此能求出$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$的值．

解答 解：（1）∵-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，
∴sinx＜0，cosx＞0，
（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，
∴sin2x=2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$，
（cosx-sinx）²=1-2cosxsinx=1+$\frac{24}{25}$=$\frac{49}{25}$，
∴cosx-sinx=$\frac{7}{5}$．
（2）由（1）得sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，cosx-sinx=$\frac{7}{5}$，
∴sinx=-$\frac{3}{5}$，cosx=$\frac{4}{5}$，∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$=$\frac{-\frac{24}{25}+2×（-\frac{3}{5}）^{2}}{1-（-\frac{3}{4}）}$=-$\frac{24}{175}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．