Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}-1}}$为奇函数．
（1）则a=1
（2）函数g（x）=f（x）-$\frac{2}{x}$的值域为（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行求解即可．
（2）根据函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（1）根据题意，函数f（x）=$\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}-1}}$，则有f（-x）=$\frac{{e}^{-x}+a}{{e}^{-x}-1}$=$\frac{1+a•{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$，
若函数f（x）为奇函数，则有$\frac{1+a•{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$=-$\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}-1}}$，
分析可得，a=1，
（2）由（1）可得，a=1，则f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$，
则g（x）=f（x）-$\frac{2}{x}$=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$-$\frac{2}{x}$=1+$\frac{2}{{e}^{x}-1}$-$\frac{2}{x}$，
其中x≠0，
则g（-x）=$\frac{{e}^{-x}+1}{{e}^{-x}-1}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{1+{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$+$\frac{2}{x}$=-（$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$-$\frac{2}{x}$）=-g（x），则函数g（x）为奇函数，
当x＞0时，函数为增函数，当x→+∞时，g（x）→1，
即当x＞0时，0＜g（x）＜1，∵函数是奇函数，
∴当x＜0时，-1＜g（x）＜0，
综上函数的值域为（-1，0）∪（0，1），
故答案为：1，（-1，0）∪（0，1），

点评 本题考查函数奇偶性的性质，关键是利用奇偶性求出a的值，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．