Question

9．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D．过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB相交于点F，AF=4，FB=1，EF=2，则线段AC的长为4．

Answer 1

分析 由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD²=CD•AD求解

解答 解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即4×1=2×FC，FC=2，
在△ABD中，AF：AB=FC：BD，即4：5=2：BD，BD=2.5，
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD²=CD•AD，即x•4x=2.5²，x=$\frac{5}{4}$，
所以AF：AB=AC：AD，所以AC=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．