Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．若函数y=|f（x）-t|-2011有三个零点，则实数t的值是________．

Answer 1

2012
分析：先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t-1应是f（x）的极小值，解出t．
解答：f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f′（x）在R上单调递增，
故f′（x）=0有唯一解x=0
所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：

又函数y=|f（x）-t|-2011有三个零点，所以方程f（x）=t±2011有三个根，
而t+2011＞t-2011，所以t-2011=（f（x））_min=f（0）=1，解得t=2012，
故答案为2012．
点评：本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．