Question

【题目】定义区间（m，n），，，的长度均为，其中.

（1）若关于x的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；

（2）求关于x的不等式的解集构成的区间的长度的取值范围；

（3）已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5，求实数t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）观察二次项的系数带有字母，需要先对字母进行讨论，当a等于0时，看出合不合题意，时，方程的两根设为，根据根与系数之间的关系，写出两根的和与积，表示出区间长度，得到结果（2）根据所给的函数式，利用三角函九公式进行化简求值，根据二次不等式出不等式成立的条件，由此能求出结果（3）先解关于x的不等式组，解出两个不等式的解集，求两个不等式的解集的交集，，不等式组的解集的各区间长度和为6，写出不等式组进行讨论，得到结果.

（1）当时，不等式的解为，不成立；

当时，方程的两根设为，则，，

由题意知，

解得或（舍），

所以.

（2），

，

，

∴当时，的解集为，

当时，的解集为，

∴关于x的不等式的解集构成的区间的长度的取值范围是.

（3）先解不等式，整理，得，解得.

∴不等式的解集为，

设不等式的解集为B，不等式组的解集为，

∵关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5，且A∩B（-2，5），

不等式等价于，

当时，恒成立

当时，不等式恒成立，得，

当时，不等式恒成立，即恒成立，

当时，的取值范围为，

∴实数，

综上所述，t的取值范围为.