Question

已知

a

，

b

，

c

均为单位向量，且满足

a

•

b

=0，则（

a

+

b

+

c

）•（

a

+

c

）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由于

a

，

b

，

c

均为单位向量，满足

a

•

b

=0，可设

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（cosθ，sinθ）．利用向量的坐标运算和数量积运算、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵

a

，

b

，

c

均为单位向量，满足

a

•

b

=0，
∴可设

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（cosθ，sinθ）．
∴（

a

+

b

+

c

）•（

a

+

c

）=（1+cosθ，1+sinθ）•（1+cosθ，sinθ）
=（1+cosθ）²+（1+sinθ）sinθ
=sinθ+2cosθ+2
=

5

sin(θ+φ）+2≤

5

+2，tanφ=2，当且仅当sin（θ+φ）=1时取等号．
∴（

a

+

b

+

c

）•（

a

+

c

）的最大值为

5

+2．
故答案为：

5

+2．

点评：本题考查了向量的坐标运算和数量积运算、正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．