Question

如图，双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，抛物线C₂的顶点为坐标原点O，焦点为F₂．过F₁的圆x²+y²=a²的一切线交抛物线C₂于点A，切点为M．若线段F₁A的中点恰为M，则双曲线C₁的离心率为（　　）

• A、

  1+ 5

  2

• B、

  1+ 3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  3+ 5

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，求出AF₂的大小以及点A的坐标，又点A在抛物线C2：y2=4cx上，求出a、c的关系，从而得出离心率e的大小．

解答： 解：在△F₁AF₂中，MO为中位线，且F₁M=b，OM=a，
∴AF₂=2a；
由抛物线的定义，设A（x，y），
∴x+c=2a，
∴x=2a-c；
又∵点A到x轴的距离为

4b2-4a2

（由抛物线的定义，过点A做抛物线准线的垂线得到），
∴点A(2a-c，

4b2-4a2

)；
∵点A在抛物线C2：y2=4cx上，
∴4b²-4a²=4c（2a-c），
即c²-2a²=c（2a-c），
∴c²-ac-a²=0，
∴e²-e-1=0；
又∵e＞1，
∴解得e=

1+ 5

2

．
故选：A．

点评：本题考查了直线与圆，以及直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应结合图形以及圆锥曲线的定义、几何性质进行解答，是综合题目．