Question

给出下列命题：
①函数y=2^-|x|为偶函数；
②函数y=1是周期函数；
③函数f（x）=2^x-x²的零点有2个；
④函数g（x）=|log₂x|-（

1

2

）^x在（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂且x₁•x₂＜1．
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：由函数的奇偶性的定义，即可判断①；运用函数的周期性，即可判断②；画出y=x²，y=2^x的图象，注意f（2）=0，f（4）=0，从而判断③；作出y=|log₂x|和y=（

1

2

）^x在（0，+∞）上的图象，结合图象判断交点个数和范围，即可判断④．

解答： 解：①函数y=2^-|x|为偶函数，由于f（-x）=2^-|-x|=2^-|x|₌f（x），
故①正确；
②函数y=1，即f（x）=1，存在非零常数T，有f（x+T）=f（x），
故为周期函数，即②正确；
③函数f（x）=2^x-x²的零点，即令f（x）=0，2^x=x²，
显然有f（2）=0，f（4）=0，当x＜0时，y=x²递减，
y=2^x递增，显然有一个交点，故有三个交点，故③错；
④令g（x）=0，则|log₂x|=（

1

2

）x，
作出y=|log₂x|和y=（

1

2

）^x在（0，+∞）上的图象，
可知恰有两个交点，设零点为x₁，x₂且
|log₂x₁|＞|log₂x₂|，x₁＜1，x₂＞1，
故有

1

x1

＞x2，即x₁x₂＜1，故④正确．
故选C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性及运用，考查函数的零点个数的判断，掌握运用图象求交点个数，注意运用数形结合思想，是一道中档题．