Question

在中，，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

20．本大题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD = AB = a，E是PB的中点，F为AD中点．
(1)求异面直线PD、AE所成的角；
(2)求证：EF⊥平面PBC．
(3)求二面角F－PC－E的大小．

Answer 1

解：（1）在中，由，得， 又由正弦定理

得：.

（2）由余弦定理：得：，

即，解得或（舍去），所以.

所以，

. 即.

方法一
　　(1)解：以D为原点，以直线DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴,建立直角坐标系，
　　则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)，E 　　∴，，
　　又∵，故
　　故异面直线AE、DP所成角为．

(2)解：∵F∈平面PAD，故设F(x，0，z)，则有
　　∵EF平面PBC，∴且，即
　　又∵，
　　∴，从而，
　　∴，取AD的中点即为F点．

(3)解：∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
　　又∵CD⊥BC，由三垂线定理，有PC⊥BC．
　　取PC的中点G，连结EG，则EG∥BC，∴EG⊥PC
　　连结FG，∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
　　∴FG⊥PC，∴∠FGE为二面角F－PC－E的平面角 　　∵，∴
　　∴，∴二面角F－PC－E的大小为． 方法二
　　(1)解：连AC、BD交于H，连结EH，则EH∥PD，
　　∴∠AEH异面直线PD、AE所成的角
　　∵，
　　∴，即异面直线AE、DP所成角为．

(2)解：F为AD中点．
　　连EF、HF，∵H、F分别为BD、AD中点，∴HF∥AB，故HF⊥BC
　　又EH⊥BC，∴BC⊥平面EFH，因此BC⊥EF
　　又，
　　E为PB中点，∴EF⊥PB，∴EF⊥平面PBC．

(3)解：∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
　　又∵CD⊥BC，由三垂线定理，有PC⊥BC．
　　取PC的中点G，连结EG，则EG∥BC，∴EG⊥PC
　　连结FG，∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
　　∴FG⊥PC，∴∠FGE为二面角F－PC－E的平面角 　　∵，
　　∴，∴二面角F－PC－E的大小为．