Question

17．已知平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ+2\\ y=rsinθ+2\end{array}$（θ为参数，r＞0）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）+1=0．
（1）求圆C的圆心的极坐标；
（2）当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）消去参数，得圆C的普通方程，即可求圆C的圆心的极坐标；
（2）当圆C与直线l有公共点时，圆心（2，2）到直线l的距离为$d=\frac{|2+2+1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$≤r，即可求r的取值范围．

解答 解：（1）由$C：\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ+2\\ y=rsinθ+2\end{array}\right.$得（x-2）²+（y-2）²=r²，
∴曲线C是以（2，2）为圆心，r为半径的圆，
∴圆心的极坐标为$（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$…（5分）
（2）由$l：\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）+1=0$得l：x+y+1=0，
从而圆心（2，2）到直线l的距离为$d=\frac{|2+2+1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$，
∵圆C与直线l有公共点，∴d≤r，即$r≥\frac{5}{2}\sqrt{2}$…（10分）

点评 本题考查圆的参数方程，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．