Question

11．根据要求证明下列各题：
（1）用分析法证明：$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞\sqrt{6}-\sqrt{5}$；
（2）用反证法证明：1，$\sqrt{2}$，3不可能是一个等差数列中的三项．

Answer 1

分析 （1）利用分析法的步骤进行证明；
（2）利用反证法的步骤进行证明．

解答 解：（1）要证：$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞\sqrt{6}-\sqrt{5}$；即证：$\sqrt{3}+\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}+\sqrt{6}$；
即证：（$\sqrt{3}+\sqrt{5}$）²＞（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）²；即证：8+2$\sqrt{15}$＞8+2$\sqrt{12}$；
即证：$\sqrt{15}$＞$\sqrt{12}$；即证：15＞12；
而15＞12显然成立，且以上各步皆可逆，
所以：$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞\sqrt{6}-\sqrt{5}$；
（其他方法参照给分）
（2）假设1，$\sqrt{2}$，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第吗m，n，k项（m，n，k∈N^•），
则数列的公差d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}=\frac{3-1}{k-m}$，
则$\sqrt{2}-1$=$\frac{2（n-m）}{k-m}$，
因为m，n，k∈N^•，所以n-m，n，k-m∈N^•，所以$\frac{2（n-m）}{k-m}$为有理数，
所以$\sqrt{2}-1$是有理数，这与$\sqrt{2}-1$是无理数相矛盾．
故假设不成立，所以1，$\sqrt{2}$，3不可能是某等差数列的三项．

点评 本题主要考查命题的证明，利用分析法和反证法是解决本题的关键．注意反证法的步骤．