Question

10．已知函数f（x）=x³-ax²-bx+c有两个极值点x₁，x₂，若x₁＜x₂=f（x₂），则f（x）=x₁的解的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由函数f（x）=x³-ax²-bx+c有两个极值点x₁，x₂，通过函数的极值以及函数的单调性判断方程解的个数．

解答 解：∵函数f（x）=x³-ax²-bx+c有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=3x²-2ax-b=（x-x₁）（x-x₂），
即为3x²-2ax-b=0有两个不相等的正根x₁，x₂，
∵x₁＜x₂，∴此方程有两解且f（x）=x₁或x₂
即有x＜x₁，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x₁＜x＜x₂，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数
x₂＜x，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x=x₂，函数取得极小值，
∵x₁＜x₂=f（x₂），∴f（x）=x₁＜f（x₂），
∴函数f（x）在x∈（-∞，f（x₂））时，函数是单调增函数，
f（x）=x₁的解的个数为：1．
故选：B．

点评 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数，考查了函数与方程的思想方法、推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．