Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₅=10，a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），把数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形状，记F（m，n）表示第m行、第n列的项，若F（m，n）+F（m+1，n+1）=90，则m+n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系得到数列{a_n}为等差数列，求出数列每一行的首项，结合数列的通项公式进行求解即可得到结论．

解答： 解：由a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），得a_n+a_n+2=2a_n+1，（n∈N^*），
则数列{a_n}为等差数列，
∵a₁=2，a₅=10，
∴a₅=2+4d=10，
解得d=2，则a_n=2n，
则第n行第一项为a

n2-n+1

2

=n²-n+1
即F（m，1）=m²-m+1，
则F（m，n）=m²-m+1+2（n-1），
F（m+1，1）=（m+1）²-m，
则F（m+1，n+1）=（m+1）²-m+2n，
即F（m，n）+F（m+1，n+1）=90，
则m²-m+1+2（n-1）+（m+1）²-m+2n=90
即m²+2n=45
当m=1，n=22，不满足条件，
当m=3，n=18，不满足条件，
当m=5，n=10，不满足条件，
当m=7，n=3，满足条件，此时m+n=10，
故答案为：10．

点评：本题考查等差数列的通项公式以及数列的递推关系的应用，比较复杂．