Question

函数y=x²-4x-4的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），与直线x+1=0交于点C，记过A，B，C三点的圆为⊙P．
（1）求⊙P的方程；
（2）直线l：x+y+m=0与⊙P交于点M，N，若PM⊥PN，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出抛物线与x轴的交点AB坐标，C的坐标，然后求解圆⊙P的方程；
（2）直线l：x+y+m=0与⊙P交于点M，N，若PM⊥PN，判断三角形的形状，然后利用点到直线的距离公式得到方程求出m的值．

解答： 解：（1）y=x²-4x-4的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），
则y=0时，x²-4x-4=0，解得A（2+2

2

，0），B（2-2

2

，0），
与直线x+1=0交于点C，可得C（-1，1）．
过A，B，C三点的圆为⊙P，
圆的圆心横坐标为2，圆心设为（2，b），
可得（2+2

2

-2）²+（0-b）²=（-1-2）²+（1-b）²，
解得b=1，（-1-2）²+（1-1）²=9，圆的半径为：3
⊙P的方程：（x-2）²+（y-1）²=9．
（2）直线l：x+y+m=0与⊙P交于点M，N，若PM⊥PN，说明三角形PMN是等腰直角三角形，圆心到直线的距离为

2

2

r=

3 2

2

，由点到直线的距离可得：

|2+1+m|

2

=

3 2

2

，
解得m的值为：0或-6．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，考查计算能力．