Question

已知变量x，y满足约束条件

x+2y≥1 x-y≤1 y-1≤0

，若z=x-2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x²-kx+1=0在区间（b，a）有两解，则实数k的取值范围是（　　）

• A、（-6，-2）
• B、（-3，2）
• C、（-

  10

  3

  ，-2）
• D、（-

  10

  3

  ，-3）

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：由约束条件作出可行域，数形结合求得最优解，代入目标函数得到a，b的值，然后把方程x²-kx+1=0在区间（b，a）有两解转化为关于k的不等式组求得k的取值范围．

解答： 由约束条件

x+2y≥1 x-y≤1 y-1≤0

作出可行域如图，

联立

y-1=0 x+2y=1

，解得

x=-1 y=1

，C（-1，1）．
化z=x-2y为y=

1

2

x-

z

2

，
由图可知，A（1，0）为目标函数z=x-2y取得最大值的最优解，最大值为a=1-2×0=1；
C（-1，1）为目标函数z=x-2y取得最小值的最优解，最小值为b=-1-2×1\=-3．
方程x²-kx+1=0在区间（b，a）有两解，即在区间（-3，1）上有两解．
则

△=(-k)2-4≥0 -3＜ k 2 ＜1 (-3)2+3k+1＞0 12-k+1＞0

，解得-

10

3

＜k＜-2．
∴实数k的取值范围是（-

10

3

，-2）．
故选：C．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数学转化思想方法，训练了利用二次函数的零点所在区间求参数的范围问题，是中档题．