Question

已知函数f（x）=

3

sinωx-cosωx（ω＞0）的图象与直线y=2的相邻两个交点之间的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若f（A）=2，a=

3

b，求角B的大小．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=2sin（ωx-

π

6

）由题意函数f（x）的图象与直线y=2的相邻两个交点之间的距离为π，可得T，从而求出ω，即可得f（x）的解析式，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（A）=2，可得sin（2A-

π

6

）=1，又0＜A＜π，求得A=

π

3

，a=

3

b，根据据正弦定理有sinA=

3

sinB，可求sinB=

1

2

，由大边对大角即可求B．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sinωx-cosωx（ω＞0），
∴f（x）=2sin（ωx-

π

6

）．
∴函数f（x）的最大值为2．
∵函数f（x）的图象与直线y=2的相邻两个交点之间的距离为π，
∴T=π，
∴

2π

ω

=π，解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
在△ABC中，∵f（A）=2，
∴2sin（2A-

π

6

）=2，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
∵a=

3

b，根据据正弦定理，有sinA=

3

sinB，
∴sin

π

3

=

3

sinB，
∴sinB=

1

2

，
∵a＞b，
∴A＞B，
∴0＜B＜

π

3

，
∴B=

π

6

．

点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．