Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

n+1

2

an+1（n∈N^*），求通项a_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已恬得na_n=

n+1

2

an+1-

n

2

an，从而

an+1

an

=

3n 2

n+1 2

=

3n

n+1

，由此利用累乘法能求出通项a_n．

解答： 解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

n+1

2

an+1（n∈N^*），①
∴a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=

n

2

an，（n∈N^*），②
①-②，得：na_n=

n+1

2

an+1-

n

2

an，
∴

3n

2

an=

n+1

2

an+1，
∴

an+1

an

=

3n 2

n+1 2

=

3n

n+1

，
∵a₁=1，
∴an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=1×

3

2

×

6

3

×

9

4

×…×

3n-3

n

=

3n-1

n

．

点评：本题考查数列的通项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．