Question

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•sinA+

3

a•cosC=0．
（1）求角C的大小；
（2）若a=8，b=5，D为AB的中点，求CD的长度．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，由sinA不为0，求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）延长CD到E，使DE=CD，则CE=2CD，连接AE，再由CD为中线，得到AD=BD，以及对顶角相等，利用SAS得到三角形CBD与三角形EAD全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到AE=BC=a=8，∠AED=∠BCD，进而求出∠CAE的度数，在三角形ACE中，利用余弦定理求出CE的长，即可求出CD的长．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：sinCsinA+

3

sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴sinC+

3

cosC=0，即tanC=-

3

，
∵C为三角形内角，
∴C=120°；
（2）延长CD到E，使DE=CD，则CE=2CD，连接AE，
∵CD为△ABC的中线，
∴AD=BD，
∵∠ADE=∠BDC，
∴△BCD≌△AED，
∴AE=BC=a=8，∠AED=∠BCD，CD=ED，
∴∠AED+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=120°，
∴∠CAE=180°-（∠AED+∠ACD）=180°-120°=60°，
在△ACE中，由余弦定理得：CE²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠CAE=25+64-40=49，
解得：CE=7，
则CD=

1

2

CE=3.5．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．