Question

已知函数f（x）∈{x^-1，log₂|x|，x 

1

2

}，且f（x）为偶函数．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=m•2^f（x）+x²（m∈R）．
①若函数g（x）在区间（-∞，-2）上是减函数，求实数m的取值范围；
②当m＞

1

4

时，证明：g（x）＞

1

4

x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据每个函数的奇偶性确定函数f（x）；
（2）①借助于二次函数的单调性性质求解；
②将不等式化简归零，而后将问题转化为函数的最值问题来解．

解答： 解：（1）若f（x）=x^-1，则f（-x）=（-x）^-1=-x^-1=-f（x），所以f（x）为奇函数，不合题意；
若f(x)=x

1

2

，则f（x）的定义域为[0，+∞），所以f（x）即不是奇函数，也不是偶函数，不合题意；
若f（x）=log₂|x|，则f（-x）=log₂|-x|=log₂|x|=f（x），所以f（x）为偶函数，符合题意，
综上可知，函数f（x）=log₂|x|．
（2）g(x)=m•2log2|x|+x2．
①因为x∈（-∞，-2）时，g（x）=x²-mx．
所以，当m≥0时，g（x）在（-∞，-2）上单调递减，符合题意；
当m＜0时，要使得g（x）在（-∞，-2）上单调递减，须且只须

m

2

≥-2，
即m≥-4，所以-4≤m≤0．
综上所述，所求m的取值范围是[-4，+∞）．
②当x∈[1，2]时，g（x）=x²+mx．
所以g(x)＞

1

4

x+

1

x

?x2+mx＞

1

4

x+

1

x

?(m-

1

4

)x2-1＞-x3．
令F（x）=（m-

1

4

）x²-1（1≤x≤2），G（x）=-x³（1≤x≤2）．
因为m＞

1

4

，所以函数F（x）在区间[1，2]上单调递增，
所以F（x）_min=F（1）=m-

5

4

＞

1

4

-

5

4

=-1，所以F（x）＞-1，
又因为函数G（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以G（x）_max=G（1）=-1，所以G（x）≤-1，
所以F（x）＞G（x），
所以G（x）＞

1

4

x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性等基础知识，以及利用函数思想解决不等式恒成立问题的基本思路．