Question

如图，△ABC内接于直径为F₁，F₂的圆P，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10
（1）求证：AC=2AB；
（2）求AD•DE的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,相似三角形的判定

专题：直线与圆,推理和证明

分析：（1）由弦切角定理推导出△ABP∽△CAP，由此能证明AC=2AB．
（2）由切割线定理得：PA²=PB•PC，从而PC=20，BC=15，由AD是∠BAC的平分线，得CD=10，DB=5，再由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．

解答： （1）证明：∵PA是圆O的切线，∴∠PAB=∠ACB，又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP，…（2分）
∴

AC

AB

=

AP

PB

=2，∴AC=2AB．…（4分）
（2）解：由切割线定理得：PA²=PB•PC，
∴PC=20，又PB=5，∴BC=15，…（6分）
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴

AC

AB

=

CD

DB

=2，
∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5…（8分）
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．…（10分）

点评：本题考查一线段长是另一线段长的2倍的证明，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、切割线定理、相交弦定理的合理运用．