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    已知等比数列{an}的首项a1=2011，公比q=-
    1
    2
    ，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为Tn．
    （1）证明：S2≤Sn≤S1；
    （2）判断Tn与Tn+1的大小，并求n为何值时，Tn取得最大值；
    （3）证明：若数列{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d1，d2，…，dn，则数列{dn}为等比数列．
    考点：等差数列与等比数列的综合,等差数列的性质,等比数列的性质
    专题：综合题
    分析：（1）由题设知Sn=S1+
    a2[1-(-
    1
    2
    )    n-1    ]
    1-(-
    1
    2
    )
    =S1-
    1
    3
    a1[1-(-
    1
    2
    )n-1]≤S1    ，由此能够证明S2≤Sn≤S1．
    （2）由
    |Tn+1|
    |Tn|
    =
    a1a2…anan+1
    a1a2…an
    =|an+1|=
    2011
    2n
    ，知|Tn|max=|T11|，由此能够推导出n为何值时，Tn取得最大值．
    （3）由an=2011（-
    1
    2
    ）n-1，知|an|随n增大而减小，an奇数项均正，偶数项均负．由此进行分类讨论，能够证明数列{dn}为等比数列．
    解答： （1）证：Sn=S1+
    a2[1-(-
    1
    2
    )    n-1    ]
    1-(-
    1
    2
    )
    =S1-
    1
    3
    a1[1-(-
    1
    2
    )n-1]≤S1    ，
    当n=1时，等号成立…2分
    Sn=S2+
    a3[1-(-
    1
    2
    )    n-2    ]
    1-(-
    1
    2
    )
    =S2+
    1
    6
    a1[1-(-
    1
    2
    )n-2]≥S2    ，
    当n=2时，等号成立
    ∴S2≤Sn≤S1．…4分
    （2）解：∵
    |Tn+1|
    |Tn|
    =
    a1a2…anan+1
    a1a2…an
    =|an+1|=
    2011
    2n
    ，
    ∴当n≤10时，|Tn+1|＞|Tn|，
    当n≥11时，|Tn+1|＜|Tn|，
    故|Tn|max=|T11|…7分
    又T10＜0，T11＜0，T9＞0，T12＞0，
    ∴Tn的最大值是T9和T12中的较大者，
    ∵
    T12
    T9
    =a10a11a12=[2011（-
    1
    2
    ）10]3＞1，
    ∴T12＞T9
    因此当n=12时，Tn最大．…10分
    （3）证：∵an=2011（-
    1
    2
    ）n-1，
    ∴|an|随n增大而减小，an奇数项均正，偶数项均负
    ①当k是奇数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为ak+1，ak+2，ak，
    则ak+1+ak=a1(-
    1
    2
    )k+a1(-
    1
    2
    )k-1=
    a1
    2k
    ，2ak+2=2a1(-
    1
    2
    )k+1=
    a1
    2k
    ，
    ∴ak+1+ak=2ak+2，因此ak+1，ak+2，ak成等差数列，
    公差dk=ak+2-ak+1=a1[(-
    1
    2
    )k+1-(-
    1
    2
    )k]=
    3a1
    2k+1
    …12分
    ②当k是偶数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为ak，ak+2，ak+1，
    则ak+1+ak=a1(-
    1
    2
    )k+a1(-
    1
    2
    )k-1=-
    a1
    2k
    ，2ak+2=2a1(-
    1
    2
    )k+1=-
    a1
    2k
    ，
    ∴ak+1+ak=2ak+2，因此ak，ak+2，ak+1成等差数列，
    公差dk=ak+2-ak=a1[(-
    1
    2
    )k+1-(-
    1
    2
    )k-1]=
    3a1
    2k+1
    …14分
    综上可知，{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且dk=
    3a1
    2k+1

    ∵
    dn-1
    dn
    =2    ，
    ∴数列{dn}为等比数列．…16分．
    点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
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    f(1)
    g(1)
    +
    f(-1)
    g(-1)
    =
    5
    2
    ．令an=
    f(n)
    g(n)
    ，则使数列{an}的前n项和Sn超过100的最小自然数n的值为
     
    ．

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    		31
    B、4
    		2
    C、
    		33
    D、
    		29

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    		2
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    		3
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    		3
    2
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    		2
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    ．

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