Question

已知数列的前项和和通项满足（，是大于0的常数，且），数列是公比不为的等比数列，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出所有可能的实数的值，若不存在说明理由；

（3）数列是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的和的组合，若不能，请说明理由.

 

Answer 1

（1）,（2）λ= 2或λ= 3,（3）不可能为等比数列.

【解析】

试题分析：（1）求一般数列通项，常利用和项与通项关系，即当时, ,整理得，又由，得，

结合q>0知，数列是首项为q公比为的等比数列， ∴ （2）存在性问题，一般从假设存在出发，探求等量关系，将是否存在转化为是否有解. 结合（1）知，当q=2时，,所以,假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有(cn＋1＋λcn)2＝(cn＋2＋λcn＋1)(cn＋λcn 1)，将cn＝2n＋3n代入上式，整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n·3n＝0，解得λ= 2或λ= 3.（3）首先利用特殊值探讨，得出结论是数列不可能为等比数列.说明也可根据特例. 由题意得c1c3 c22＝b1q(p2＋q2 2pq)，由于p≠q时，p2＋q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，所以 c1c3 c22≠0，即 c22≠c1·c3. 故｛cn｝不是等比数列.

【解析】
（1）当时,

,整理得 2分

又由，得 3分

结合q>0知，数列是首项为q公比为的等比数列， ∴ 5分

（2）结合（1）知，当q=2时，,所以 6分

假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有

(cn＋1＋λcn)2＝(cn＋2＋λcn＋1)(cn＋λcn 1)，将cn＝2n＋3n代入上式，得：

[2n＋1＋3n＋1＋λ(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2＋λ(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n＋λ(2n 1＋3n 1)]，

即 [(2＋λ)2n＋(3＋λ)3n]2＝[(2＋λ)2n＋1＋(3＋λ)3n＋1][(2＋λ)2n 1＋(3＋λ)3n 1］，

整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n·3n＝0，解得λ= 2或λ= 3. 10分

故存在实数实数＝ 2或 3，使数列是等比数列. 11分

（3）数列不可能为等比数列. 12分

理由如下：

设等比数列｛bn｝的公比为p，则由题设知p≠q，则cn=qn＋b1pn 1

为要证｛cn｝不是等比数列只需证c22≠c1·c3.

事实上，

c22＝（q2＋b1p）2＝q4＋2q2b1p＋b12p2， ①

c1·c3＝(q＋b1)(q3＋b1p2)＝q4＋b12p2＋b1q(p2＋q2）， ②

②-①得

c1c3 c22＝b1q(p2＋q2 2pq)

由于p≠q时，p2＋q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，

所以 c1c3 c22≠0，即 c22≠c1·c3. 故｛cn｝不是等比数列. 16分

考点：数列和项与通项关系，数列综合应用