Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，直线x+2y+2=0与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过M（2，0），求这个椭圆方程．

Answer 1

分析 由椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，及b²=a²-c²，求得a²=5b²，求得$\overrightarrow{MP}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{MQ}$=（x₂-2，y₂），由题意可知：$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，根据向量数量积的坐标表示，即可求得b，即可求得椭圆方程．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即c²=$\frac{4}{5}$a²，
由b²=a²-c²=$\frac{1}{5}$a²，则a²=5b²，
∴椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{5{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，M（2，0），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\overrightarrow{MP}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{MQ}$=（x₂-2，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{5{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{x+2y+2=0}\end{array}\right.$，9x²+20x+20-20b²=0，
△＞0，
由韦达定理可得：x₁+x₂=-$\frac{20}{9}$，x₁•x₂=$\frac{20-20{b}^{2}}{9}$，
由题意可得：MP⊥MQ，
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=$\frac{5}{4}$x₁•x₂-$\frac{3}{2}$（x₁+x₂）+5=0，整理得：b²=4，
∴a²=20，
∴椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标表示应用，考查计算能力，属于中档题．