Question

已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1
（I）当时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设H（x）=[f（x）+a-1]e^x，当a＞-1且a≠0时，时求函数H（x）的单调区间和极值．

Answer 1

解：（I）①当a=0时f（x）=-x+1，在上f（x）＞0一定成立
②当a≠0时，当a＞0时，二次函数y=f（x）的图象开口向上，且与x轴有两个交点（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，当且仅当，即0＜a≤1；
当a＜0时，二次函数y=f（x）的图象开口向下，且与x轴有两个交点（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，当且仅当，即-2≤a≤0
综合可得实数a的取值范围是：-2≤a≤1．

（II）H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，

令H'（x）=0，解得x=，或x=-1
①当a＞0时，则．当x变化时，H'（x），H（x）的变化情况如下表：

所以函数H（x）在（-∞，-1），内是增函数，在内是减函数．
函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e^-1函数H（x）在处取得极小值，且
②当-1＜a＜0时，则，当x变化时，H'（x），H（x）的变化情况如下表：

所以函数H（x）在，（-1，+∞）内是减函数，
在内是增函数函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e-1函数H（x）在x=处取得极小值，且H
分析：（I）讨论a，分布就①a=0，②a＞0，③a＜0三种情况求函数的最大值，要使f（x）＞0恒成立?f（x）_min＞0
（II）代入整理可得H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，对函数求导就①②③三种情况讨论函数H（x）的单调性及求极值．
点评：本题主要考查了导数的应用：利用导数求函数的极值及判断函数的单调性、求单调区间，但当极值点中含有参数时，要对极值的大小讨论，体现了分类讨论的思想在解题中的应用、