Question

（本题满分15分）
已知函数，是的导函数（为自然对数的底数）
（Ⅰ）解关于的不等式：；
（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当时，无解；当时，解集为；当时，解集为 ；（Ⅱ）。

解析试题分析：解：（Ⅰ）          …………………………2分
                           …………………………4分
当时，无解；                                    …………………………5分
当时，解集为；                  …………………………6分
当时，解集为                      …………………………7分
（Ⅱ）方法一：若有两个极值点，则是方程的两个根
，显然,得：        ……………………………9分
令，                       …………………………11分
若时，单调递减且，                 …………………………12分
若时，当时，，在上递减，
当时，，在上递增,……14分
要使有两个极值点，需满足在上有两个不同解，
得:，即：                               ……………………15分
法二：设， 
则是方程的两个根，则，    …………………………9分
若时，恒成立，单调递减，方程不可能有两个根……11分
若时，由，得，
当时，，单调递增，
当时，  单调递减      …………………………13分
，得       …………………………15分
考点：一元二次含参不等式的解法。利用导数研究函数的单调性和极值。
点评：（1）解一元二次含参不等式的主要思想是分类讨论，常讨论的有二次项系数、两根的大小和判别式∆；（2）第二问方法一的关键是把问题转化为“有两个不同解”，根据构造函数来求。